BLOQUE I

TERMINOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

 

UNION:

 

Dados dos o mas conjuntos, se define la union de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos

Ejemplo: sean los conjuntos A =  ( a,b,c,d,e,f) y B = (a,h,j,) La union de A y B es ( a,b,c,d,e,f,g,g,j)
 

La union tienes las siguientes propiedades:

Conmutativa A unio B = Union A

Asociativa ( A union B ) Union C = A union (B union C)

Distributiva: A union (B interseccion C) = (A union B) interseccion (A union C)

Absorcion: A union ( A interseccion B) = A

Idempotencia: Aunion A = A

Elemento neutro: A union conjunto vacio = A

Dominacin: U union A = U

Inversa: A union A' = U

Inversa de Morgan ( A union B ) = A' interseccion B

 

 

 

INTERSECCION

Dados dos o mas conjuntos, se define la interseccion de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.

 

Ejemplo: Sean los conjuntos A = ( a,b,c,d,e,f,) y B = (a,h.j) La interseccion de A y B es (a)

 

LaInterseccion tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa A interseccion B = B interseccion A

Asociativa ( A interseccion B ) interseccion C = A interseccion ( B interseccion C)

Distributiva: A interseccion ( B union C ) = ( A interseccion B ) union ( A interseccion C)

Absorcion: A interseccion ( A union B) = A

Idempotencia: A interseccion A = A

Elemento neutro: A interseccion conjunto vacio = A

Dominacion conjunto vacio interseccion A = U

Inversa: A interseccion A' = U

Inversa de Morgan: (A interseccion B )' = A' union B'
 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD

 

  • EXPERIMENTO ALEATORIO: Conjunto de pruebas cuyos resultados estan determinados unicamente por el azar
  • ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de todos los resultados posible de un experimento aleatorio
  • PUNTO MUESTRAL O SUCESO ELEMENTAL: El resultado de una sola prueba de un experimento muestral.
  • PUNTO MUESTRAL O SUCESO ELEMENTAL: ES el resulado de una sola prueba de un experimento muestral
  • SUCESO O EVENTO: Cualquier subconjunto de puntos muestrales
  • SUCESOS MUTUAMENTE EXLUYENTES: Sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente
  • SUCESOS COMPLEMENTARIOS: Dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya union es el espacio muestral

SUCESOS INDEPENDIENTES: Sucesos o eventos que no tienen relacion entre su, la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro

SUCESOS DEPENDIENTES: Sucesos o eventos que si tienen relacion entre su, la ocurrencia de uno si afecta la ocurrencia del otro.

 

 

 

 

 

 

TECNICAS DE CONTEO

 

 

 

 

Principio multiplicativo 
 
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;


                                    N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

  

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
 
El principio fundamental en el proceso de contr ofrece un metodo general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las tecnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos dificiles de cuantificar.
 
Si un evento A puede ocurrir de n 1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n 2 maneras diferentes entonces, el numero total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 xn2
 
n un numero entero positivo, el producto n (n-1) (n-2). . .3 x 2 x 1 se llama factorial de n
 
El sibolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros posivos de 1 a n, es decir, sea
Por definicion O! = 1
Si el numero de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente facil listar y contar todos los posibes resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados
 
Si, sin embargo, hay un gran numero de posibles resultados tales como el numero de niños y niñas por familias con cinco hijos, seria tedioso listar y contar todas las posibilidades. las posibilidades serian, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el conteo examinaremos tres tecnicas:
 
  • La tecnica de la multiplicacion
  • La tecnica aditiva
  • La tecnica de a suma o adcion
  • La tecnica de la permutacion
  • La tecnica de la combinacion
 
EJERCICIO
 
 

EJERCICOS

1)      ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

2)      ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

 

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

3)      Si 226 e 300 suscriptores de un diario seleccionados al azar indicaran que leen la sección de tiras cómicas diariamente, estime la probabilidad de que cualquier suscriptor seleccionado al azar también lea la sección de tiras cómicas todos los días.

226 de 300

P (a) =f/n

P (a) = 226/300

P(a) =0.75333 = 75.33%

4)      Si 103 de 150 pasajeros de una línea de autobuses seleccionados al azar encontraran los autobuses muy sucios, estime la probabilidad de que cualquier pasajero seleccionado al azar encuentre  que los autobuses estén muy sucios.

103 de 150                                             103 autobuses sucios                                                47 son limpios

P (a) = 103/150

P(a) = 0.68.66

P(a) = 68.66%

 

5)      Entre 842 asaltos a mano armada que se sucintaron en una ciudad determinada durante los pasados cinco años, 143 nunca se resolvieron. Suponiendo que las condiciones no han cambiado, estime la probabilidad de que no se resuelva un asalto a  mano armada en esta ciudad

842 asaltos                       143 nunca se resolvieron

P (sin resolver) = 143/842

P (sin resolver) = 0.1698

P (sin resolver) = 16.98%

6)      Entre 842 asaltos a mano armada que se sucintaron en una ciudad determinada durante los pasados cinco años, 143 nunca se resolvieron. Suponiendo que las condiciones no han cambiado, estime la probabilidad de que se resuelva un asalto a  mano armada en esta ciudad

842 asaltos                       143 nunca se resolvieron           699 resueltos

P (resueltos) = 699/842

P (resueltos) = 0.83016

P (resueltos) = 83.01%

7)      En una muestra de 278 automóviles detenidos al azar en un reten varias veces al día, 126 de los conductores manejaban con el cinturón de seguridad puesto. Estime la probabilidad de que un conductor de esa carretera use su cinturón de seguridad

278 automóviles                              126 llevan cinturón de seguridad

P (a) = 126/278

P (a) = 0.4532

P (a) = 45.32%

8)      En una muestra de 278 automóviles detenidos al azar en un reten varias veces al día, 126 de los conductores manejaban con el cinturón de seguridad puesto. Estime la probabilidad de que un conductor de esa carretera no use su cinturón de seguridad.

278 automóviles                              126 llevan cinturón de seguridad       152 no usan

P (a) = 152/278

P (a) = 0.5467 = 54.67%

9)      Si 1558 de 2050 visitantes de un parque nacional indicaron que les gustaría regresar, estime la probabilidad de que cualquier visitante seleccionado al azar quiera regresar.

1558 de 2050

P (regresa) = 1558/2050

P (regresa) = 0.76

P (regresa) = 76%

10)   Si 1558 de 2050 visitantes de un parque nacional indicaron que les gustaría regresar, estime la probabilidad de que cualquier visitante seleccionado al azar no vuelva.

1558 de 2050             492 no vuelven

P (no vuelve) = 492/2050

P (no vuelve) = 0.24

P (no vuelve) = 24%