BLOQUE II

APLICA LA PROBABILIDAD SIMPLE Y CONJUNTA

 

  • PROBABILIDAD SIMPLE

 

 

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.
Es cuando se analiza una sola característica.
 
P(A) =  Numero de eventos que tiene la caracyetristica A / total de resultados posibles = n (A) / total de resultados = evento A / Espacio muestral (u)
 
 


Ejemplos:

 

 
1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una,
¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?
 
Solución:
Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)
68 / 87 = 0.781609
 
Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)
 
2.- Hay 74 dulces y 50 son de limón. Si te piden agarrar un dulce de limón. ¿Cual es la probabilidad de que esta sea?
 
Resultados deseados = 50;
Posibles resultados = 74
 
la probabilidad es de 0.68
 
3.- Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
 
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
 
 
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
 
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
 
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
 
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
 
 
 
  • PROBABILIDAD CONJUNTA

 
Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con dos o más características.
Es cuando se analiza dos o más características al mismo tiempo.
 
 P ( AB ) = Numero de eventos con las caracteristicas A y B / Total de resutado posibles = n ( A y B ) / Total de resultados = probabilidad conjunta / U 
 
 
 
Ejemplos:
 
 
 1.- En una facultad de una universidad, el 30% de los estudiantes reprueban algebra, el 35% reprobaron geometría, dentro de estas cifras se incluye el 15% que reprobaron las dos materias. ¿Cuál es la probabilidad de los estudiantes que perdieron algebra o geometría? 

2. En una bolsa hay 18 bolas, de las cuales 5 son negras, 3 son rojas y el resto de otros colores. Sin mirar se saca una bola ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?
 
 3.-De 300 estudiantes de administración, 100 se encuentran escritos en contabilidad y 80 están inscritos en estadística para la administración. Estas cifras incluyen a 30 estudiantes que están inscritos en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido de manera aleatoria está inscrito en contabilidad (A) a estadística para la administración (B)?
 
 
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
 
 Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Los eventos son mutuamente excluyentes si sólo uno de ellos puede ocurrir cuando realizamos una prueba. Pero cuando pueden ocurrir dos o más eventos al realizar una prueba cabe decir que son eventos no excluyentes. Pensemos en el ejemplo de la baraja inglesa y en los siguientes eventos:
 
 
Eventos no excluyentes (ejemplos)
 
Sacar un 5  y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas.
Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos.
Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de tréboles.
 
Para los ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.


Eventos mutuamente excluyentes (ejemplos)
 
Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.
Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.
Sacar una carta de tréboles roja.  Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
 
No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

 
 
Reglas de la Adición
 La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
si A y B son mutuamente excluyente
 P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)
si A y B son no excluyentes
 Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
 
Eventos dependientes e independientes


Eventos Independientes
 
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
 
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
 
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
 
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
 
(PnA)=P(A)P(B)
 
 
 
Eventos dependientes
 
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
 
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
 
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
 
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
 
Ejemplo:
 
 
1.- Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(
)=0.58. 


 
¿Son independientes A y B?

 
 
Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )
P(   ) = P[(A B)c] = 1 - P(AB)

Por tanto,  P(AB) = 1 - P(   ) = 1 -0.58 = 0.42

Por otro lado,  P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42

Luego, A y B son independientes, pues  P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42 
 
2.- Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?
Aquí,
  • J: Júpiter se alineará con Marte
    A: Su tirada saldrá águilas
Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estes sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es
  • P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05
3.-  Ud. tira un par de dados dos veces seguidas, y cada vez suma los números orientados hacia arriba.
¿Qué es la probabilidad de que salga 4 dos veces seguidas? 
 
Aquí está el espacio muestral con los resultados favorables mostrados en rojo:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
 

 
Por lo tanto, la probabilidad de tirar un 4 una vez es 3/36. Ahora use el hecho que el suceso de tirar un 4 la seguna vez es independiente de haberlo tirado la primera vez; es decir, si
  • E1: sale 4 a la primera tirada
    E2: sale 4 a la seguna tirara
entonces E1 y E2 son independientes. Por lo tanto,
  • P(E1 ∩ E2) = P(E1)P(E2) =  
    3/36 . 3/36 ≈ .006944
4.- Ud. tira dos dados; uno verde y uno rojo, y observa los números orientados hacia arriba. Tome A: la suma es 7, and B: el dado rojo sale par . ¿Son estos dos sucesos independientes? 
 
  • A: La suma es 7; P(A) = 

  • n(A)


    n(S)
     =  
    6

    36
     =  
    1

    6
     
    B: El dado rojo muestra un número par; P(B) =  
    n(B)

    n(S)
     =  
    18

    36
     =  
    1

    2
     
    A ∩ B: La suma es 7 y el dado rojo es par; P(A ∩ B) = P(1, 6), (3, 4), (5, 2) =  
    3

    36
     =  
    1

    12
 
Prueba de independencia:
 
P(A ∩ B) = P(A)P(B)?
1

12
=
1

6
  
1

2
Por lo tanto, los sucesos son independientes.
 
 
 3.- Comprende, representa y aplica la probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas.