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BLOQUE III

COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Si E y F son sucesos, entonces la probabilidad de E dado F se define como

P(E|F) =

P(E ∩ F)

P(F)

Si todos los resultados son equiprobables, entonces podemos usar en cambio la siguiente formula alternativa:

P(E|F) =

n(E ∩ F)

n(F)

Para frecuencia relativa, podamos usar:

P(E|F) =

fr(E ∩ F)

fr(F)

Recuerde que fr(G) significa la frecuencia del suceso G.

Distribución de probabilidad

Ejemplo de variable aleatoria

Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Distribución aleatoria discreta
Cara superior	1	2	3	4	5	6
Número de veces	40	39	42	38	42	39

1. Tabla de distribución de frecuencias

La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos

2. Tabla de distribución de probabilidad

La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados

3. Gráfica de las distribuciones

Distribución aleatoria discreta

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:

La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.

En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores $(X_1,X_2,...,X_n)$ de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:

$\bar{X}_n = T(X_1,X_2,...,X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

PROBLEMAS:

Ejercicios resueltos de la desviación típica

1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

Desviación típica

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

Desviación típica

2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses	Niños
9	1
10	4
11	9
12	16
13	11
14	8
15	1

Calcular la desviación típica.

x_i	f_i	N_i	x_i · f_i	x²_i · f_i
9	1	1	9	81
10	4	5	40	400
11	9	14	99	1089
12	16	30	192	2304
13	11	41	143	1859
14	8	49	112	1568
15	1	50	15	225
	50		610	7526

3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por latabla:

Sumas	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Veces	3	8	9	11	20	19	16	13	11	6	4

Calcular la desviación típica.

x_i	f_i	x_i · f_i	x_i²· f_i
2	3	6	12
3	8	24	72
4	9	36	144
5	11	55	275
6	20	120	720
7	19	133	931
8	16	128	1024
9	13	117	1053
10	11	110	1100
11	6	66	726
12	4	48	576
	120	843	6633

4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, 30)	[30, 35)
f_i	3	5	7	4	2

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i²· f_i
[10, 15)	12.5	3	37.5	468.75
[15, 20)	17.5	5	87.5	1537.3
[20, 25)	22.5	7	157.5	3543.8
[25, 30)	27.5	4	110	3025
[30, 35)	32.5	2	65	2112.5
		21	457.5	10681.25

Media

Desviación típica

5.Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura	[170, 175)	[175, 180)	[180, 185)	[185, 190)	[190, 195)	[195, 2.00)
Nº de jugadores	1	3	4	8	5	2

Calcular la desviación típica

	x_i	f_i	F_i	x_i · f_i	x_i²· f_i
[1.70, 1.75)	1.725	1	1	1.725	2.976
[1.75, 1.80)	1.775	3	4	5.325	9.453
[1.80, 1.85)	1.825	4	8	7.3	13.324
[1.85, 1.90)	1.875	8	16	15	28.128
[1.90, 1.95)	1.925	5	21	9.625	18.53
[1.95, 2.00)	1.975	2	23	3.95	7.802
		23		42.925	80.213

Media

Desviación típica

7.Dada la distribución estadística:

	[0, 5)	[5, 10)	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, ∞)
f_i	3	5	7	8	2	6

Calcular la desviación típica.

	x_i	f_i	F_i
[0, 5)	2.5	3	3
[5, 10)	7.5	5	8
[10, 15)	12.5	7	15
[15, 20)	17.5	8	23
[20, 25)	22.5	2	25
[25, ∞)		6	31
		31

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:

42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35

30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32

54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21

42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27

53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58

56 59 60 40 24

Elabore una tabla de frecuencias.

Calcule la media y la desviación típica.

SOLUCIÓN:

Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:

Edad n

20-29 14

30-39 17

40-49 22

50-59 18

60-69 9

Total 80

Cálculo de la media:

Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es una media de 43,29. También:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	14	350
30-39	35	17	595
40-49	45	22	990
50-59	55	18	990
60-69	65	9	585
Total		80	3510

, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	14	-18,875	356,2656	4987,71875
30-39	35	17	-8,875	78,7656	1339,01563
40-49	45	22	1,125	1,2656	27,84375
50-59	55	18	11,125	123,7656	2227,78125
60-69	65	9	21,125	446,2656	4016,39063
Total		80			12598,75

S_{x =}

La desviación típica es de 12,5 años

Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:

Edad n_ Edad n__

20-29 14 20-29 43

30-39 17 30-39 --

40-49 22 40-49 --

50-59 18 50-59 --

60-69 9 60-69 37

Total 80 Total 80

SOLUCIÓN:

La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido calculada en el primer ejercicio.

Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda distribución.

Cálculo de la media:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	43	1075
30-39	35	-
40-49	45	-
50-59	55	-
60-69	65	37	2405
Total		80	3480

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	43	-18,875	356,2656	15319,4219
30-39	35	-	-8,875	78,7656	-
40-49	45	-	1,125	1,2656	-
50-59	55	-	11,125	123,7656	-
60-69	65	37	21,125	446.2656	16511,8281
Total		80			31831,25

BLOQUE III

Distribución de probabilidad

Ejemplo de variable aleatoria

Media muestral

Desviación estándar

Desviación estándar para datos agrupados

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios resueltos de la desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Total 80

Total

Total

Edad n_ Edad n__

Total

Total

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